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- 低时间正则性随机微分方程随机周期解的随机化数值算法
- 江映松, 牛原玲
- 2026, 46(1): 1. doi: 10.3969/j.issn.1006-8074.2026.01.001
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摘要
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- 本文研究漂移系数关于时间仅具有 $\alpha$-Hölder 连续性 ($\alpha>0$), 扩散系数仅具有 $(\frac{1}{2}+\beta)$-Hölder 连续性 ($\beta>0$) 的随机微分方程 (SDE) 随机周期解的数值逼近问题. 针对由于系数时间正则性较低而导致传统数值方法收敛阶受限的问题, 本文提出两种随机化算法: 随机化欧拉方法 (REM) 与随机化指数积分器 (REI). 这两种格式具有互补优势: REM 实现简单, 适用范围广; REI 精度更高且其收敛阶与 $\beta$ 无关. 通过引入均匀分布随机变量, 对漂移项在随机中间点进行采样, 随机化算法在低光滑性条件下可有效提升收敛阶. 理论分析表明, REM 的均方收敛阶为 $\min\left( \frac{1}{2}+\alpha, \frac{1}{2}+\beta, 1 \right)$, 而 REI 的收敛阶为 $\min\left( \frac{1}{2} + \alpha, 1 \right)$. 进一步地, 我们证明两种数值格式生成的随机周期解存在且唯一, 并以相应收敛阶逼近原方程的精确随机周期解. 数值实验验证了理论结果.
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- 一类带Hessian驱动阻尼的混合原始-对偶动力系统及其收敛性分析
- 张熙乔, 刘玲伶, 丁可伟
- 2026, 46(1): 18. doi: 10.3969/j.issn.1006-8074.2026.01.002
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摘要
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本文针对线性约束问题, 提出一类带常数项和Hessian驱动阻尼的混合原始-对偶动力系统. 该系统由描述原始变量的带Hessian驱动阻尼的二阶常微分方程与描述对偶变量的一阶常微分方程耦合而成. 通过构造合适的李雅普诺夫函数, 分析系统的原始-对偶间隙、可行性度量以及目标函数值的收敛性质, 证明在适当参数下这些量具有指数收敛速率. 进一步, 基于该动力系统的离散化格式, 推导出一种惯性型原始-对偶算法, 并通过数值实验验证理论结果的有效性与算法的稳健性.
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- 对称平面上趋化模型近常稳态解的渐近稳定性
- 汪泓泽
- 2026, 46(1): 37. doi: 10.3969/j.issn.1006-8074.2026.01.003
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摘要
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355 )
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- 趋化系统中非常值稳态解的稳定性问题仍是一个极具挑战性的研究课题. 本文运用局部分岔理论, 在有界平面区域中建立近常值稳态解的存在性. 在此分岔结构的基础上, 结合解的渐近展开与Neumann特征值不等式, 进一步研究最简模型下该类分岔稳态解的渐近稳定性. 特别地, 针对具有两条对称轴的近矩形与近圆盘型平面区域, 给出详细的稳定性分析.
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- 环 $\mathbb{Z}_{n}$的Nil-clean图的拉普拉斯谱
- 苏华东, 何晴
- 2026, 46(1): 58. doi: 10.3969/j.issn.1006-8074.2026.01.004
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摘要
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- 本文确定环$\mathbb{Z}_n$的nil-clean图$G_{NC}(\mathbb{Z}_{n})$的拉普拉斯谱, 给出$G_{NC}(\mathbb{Z}_{n})$的拉普拉斯谱半径等于$n$时的充要条件, 并研究$G_{NC}(\mathbb{Z}_{n})$的代数连通度和点连通度何时相等的问题.
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- 双临界指数的薛定谔-泊松-斯莱特方程的基态解
- 邵玉米, 雷春雨
- 2026, 46(1): 72. doi: 10.3969/j.issn.1006-8074.2026.01.005
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摘要
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- 本文研究$\mathbb R^3$中含库仑-索伯列夫临界指数与索伯列夫临界指数的薛定谔-泊松-斯莱特方程. 这两个临界指数（分别为3和6）导致相关函数空间的嵌入映射不具紧性. 通过利用Pohozaev恒等式与Br\'{e}zis-Lieb引理, 我们证明该方程基态解的存在性.
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- 高阶奇异摄动广义KdV方程的孤立周期波解数量的估计
- 寇桂晏, 谢佳祺, 袁小平
- 2026, 46(1): 81. doi: 10.3969/j.issn.1006-8074.2026.01.006
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摘要
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- 本文研究一类含两个任意高阶非线性项的扰动广义KdV (pgKdV) 方程的孤立周期波解数量问题.通过行波变换, 将原偏微分方程化为平面常微分系统, 并运用几何奇异摄动理论, 将孤立周期波解的存在性与计数问题转化为Abel积分的零点分布问题.针对该Abel积分, 应用切比雪夫系统判别准则, 证明其生成元的任意线性组合在能量区间内至多存在一个零点, 从而原系统至多存在一个孤立周期波解.
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- 二维波动方程的全变分正则化反演方法研究
- 于凡, 冯国峰
- 2026, 46(1): 95. doi: 10.3969/j.issn.1006-8074.2026.01.007
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摘要
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- 本文针对波动方程反演问题中的波场传播规律与特性开展研究, 以二维波动方程为核心理论框架, 系统构建其正问题的高效数值求解方法与反问题的鲁棒重构方法, 并进行数值验证. 首先, 利用有限差分法对二维波动方程进行时空离散, 分析特定参数下波场传播的动力学响应特征; 其次, 通过对非线性波动方程施加正则化, 将反问题转化为适定的极小化问题求解. 在此基础上, 结合全变分正则化与有限体积法, 基于最速下降法、牛顿法及共轭梯度法等非线性优化算法, 构建相应的迭代反演算法. 最后, 通过三层介质模型对二维波动方程参数进行数值模拟, 验证所提算法的可行性与计算效率.
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- 有限时间控制及扩展的 Lyapunov 稳定性判据
- 刘远山, 夏玉德, 蒋文翔, 林雅雯, 徐昭萌
- 2026, 46(1): 112. doi: 10.3969/j.issn.1006-8074.2026.01.008
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摘要
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- 针对传统渐近控制收敛速度与精度的固有局限, 有限时间控制提供了性能更优的解决方案. 然而, 其收敛时间对初始状态的依赖性限制了应用的普适性. 为此, 固定时间稳定理论实现了收敛时间上界与初始状态无关, 而预定(预设) 时间稳定理论则使该上界成为可由设计者自由设定的参数. 这一理论发展脉络显著增强了控制的确定性与灵活性, 为高性能非线性控制系统的设计开辟了新路径. 本文旨在系统回顾这一演进过程, 厘清有限时间、固定时间及预定时间稳定性的核心定义, 深入对比与评述基于 Lyapunov 方法的各类稳定性判据及其收敛时间估计方法. 最后, 总结现有理论框架的特点与挑战, 并对未来研究方向进行展望.
2026年 第46卷 第1期 刊出日期: 2026-03-28