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2023年 第43卷 第1期   刊出日期: 2023-03-28
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• 关于周期函数的研究

  李承治

  2023, 43(1): 1-31. doi: 10.3969/j.issn.1006-8074.2023.01.001

  摘要 ( 2042 )   PDF (485KB) ( 575 )   　　

  在这篇综述中我们首先简要介绍平面光滑(或解析)向量场的周期函数的概念, 以及它的等时性、单调性和临界周期的个数. 然后我们介绍本领域中一些重要的结果, 特别是关于等时中心, 关于椭圆函数或超椭圆函数所导出的向量场的周期函数, 和关于二次可积系统的周期函数. 除了这些结果, 我们在第六节中还列出一些相关的猜想和问题, 这可以作为进一步研究的论题.

• 方程$\Delta u + au^{p+1}=0$的梯度估计及其刘维尔定理

  彭博, 王友德, 魏国栋

  2023, 43(1): 32-43. doi: 10.3969/j.issn.1006-8074.2023.01.002

  摘要 ( 1515 )   PDF (177KB) ( 328 )   　　

  本文用经典李-丘的方法并结合非常精细的分析给出定义在非紧完备黎曼流形$(M, g)$上的一类非线性椭圆方程$\Delta u + au^{p+1}=0$的一种统一且简单的梯度估计方法, 这里常数 $a, p$ 满足$a > 0$, $ p < 4/n$ 或 $a < 0$, $p >0$.当$a>0$时, 我们拓展了使得上述方程梯度估计成立的$p$的取值范围, 改进了文献[11,13]中的一些结果, 补充了$\dim(M)=2$情形的结果. 当$a<0$及$p>0$时,因为不需要假设正解是有界的,我们改进了Ma, Huang和Luo在[13]中得到的结果. 当$(M, g)$的里奇曲率非负时, 我们得到了上述方程的刘维尔定理.

• 噪音诱导的混沌震荡

  李骥, 李萍

  2023, 43(1): 44-63. doi: 10.3969/j.issn.1006-8074.2023.01.003

  摘要 ( 1328 )   PDF (540KB) ( 353 )   　　

  周期与混沌震荡行为常见于神经元或者激素细胞.该行为的组成成分为抑止态和反复放电态,并且在这两种状态之间反复切换.对于此类行为的兴趣由来已久.随机外力对于在很多情况下都会产生不可忽略的影响.本文研究一类一致有界随机外力对于放电和震荡行为的影响, 解释一种由一致有界随机外力产生混沌震荡的机制,并给出数值模拟用于佐证.

• 超图中超星不交并的Turán数

  邓静华, 侯建锋, 曾庆厚, 张一枭

  2023, 43(1): 64-73. doi: 10.3969/j.issn.1006-8074.2023.01.004

  摘要 ( 1296 )   PDF (165KB) ( 237 )   　　

  给定一个$r$-一致超图$\mathcal{F}$, $\mathcal{F}$的Tur\'an数${\rm{ex}}_r(n,\mathcal{F})$表示$n$个顶点不含$\mathcal{F}$作为子图的$r$-一致超图的最大边数. 当$r\ge3$时, 确定${\rm{ex}}_r(n,\mathcal{F})$是一件非常困难的事情, 尤其是当${\rm{ex}}_r(n,\mathcal{F}) = o(n^r)$时. 对于一个图$F$, $F$的扩张$F^{+}$是指在图$F$的每条边上添加$r - 2$个新的点所得到的$r$-一致超图; $F$的Berge超图 Berge-$F$是一个$r$-一致超图$\mathcal{H}$, 满足$V(F) \subseteq V(\mathcal{H})$并且存在一个从$E(F)$到$E(\mathcal{H})$的双射$f$, 使得对于每个$e \in E(F)$, $e\subseteq f(e)$. 在本文中, 我们确定超图中超星不交并的扩张及其Berge超图的Tur\'an数,这是Khormali和Palmer [14]的结果的推广.

• 一般图与二部图中完美匹配关于距离无符号拉普拉斯谱半径的存在性

  严子墨, 刘畅, 李建平

  2023, 43(1): 74-84. doi: 10.3969/j.issn.1006-8074.2023.01.005

  摘要 ( 1307 )   PDF (277KB) ( 286 )   　　

  令$\mathcal{D}(G)=(D_{i,j})$为连通图$G$的距离矩阵, 其中$\mathcal{D}_{i,j}$等于顶点$v_i$和$v_j$之间的距离. 令$\eta_1(G)$为图$G$的距离无符号拉普拉斯谱半径, 即距离无符号拉普拉斯矩阵$\mathcal{Q}(G) =Diag(Tr)+\mathcal{D}(G)$的最大特征值, 其中$Diag(Tr)$为对角矩阵, $Diag(Tr)_{ii}=\sum_{v_iv_j\in E(G)}\mathcal{D}_{i,j}$. 在本文中, 我们研究图中完美匹配的存在性与距离无符号拉普拉斯谱半径之间的关系, 并分别给出关于距离无符号拉普拉斯谱半径的一般图和二部图存在完美匹配的充分条件.

• 卷入特定积分算子的双单叶函数类 q- 相似体的泛函不等式

  买廷梅, 龙品红, 韩惠丽, 贺福利

  2023, 43(1): 85-99. doi: 10.3969/j.issn.1006-8074.2023.01.006

  摘要 ( 1300 )   PDF (213KB) ( 267 )   　　

  本文研究在开单位圆盘中与参数$\alpha,\beta$有关的一类积分算子$I^{\alpha}_{\beta}f(z)$,首先根据解析函数从属原理定义与该积分算子和$q$-导算子有关的双单叶函数类$\mathfrak{H}_{\Sigma}^{\lambda}(\phi)$和$\mathfrak{L}_{\Sigma}^{\lambda}(\phi)$,然后估算这两类双单叶解析函数的系数$ a_{2}$和$a_{3}$的上界, 并且得到相应的Fekete-Szegö不等式.

• 一类六阶变系数奇性微分方程的周期正解

  刘杰, 李盼盼, 程志波, 景太艳

  2023, 43(1): 100-114. doi: 10.3969/j.issn.1006-8074.2023.01.007

  摘要 ( 1269 )   PDF (169KB) ( 217 )   　　

  本文利用六阶变系数线性微分方程的Green函数的性质和Schauder不动点定理，证明一类六阶奇性微分方程周期正解的存在性. 我们的结论包含吸引型奇性和排斥型奇性两种情形.

• 带记忆项半线性反应扩散方程的强吸引子

  唐志飘, 孙春友, 谢永钦

  2023, 43(1): 115-125. doi: 10.3969/j.issn.1006-8074.2023.01.008

  摘要 ( 1241 )   PDF (232KB) ( 266 )   　　

  本文讨论带衰退记忆项的非线性反应扩散方程整体强解的长时间行为.首先,利用控制收敛原理及解的正则性证明系统解半群为积空间$ H_0^1(\Omega)\times L_\mu^2(\mathbb{R}; D(A))$ 上的压缩半群,由此得到解半群的渐近紧性; 然后,证明积空间上全局吸引子$\mathcal{A}$ 的存在性和正则性. 值得注意的是非线性项$f$满足任意阶多项式增长条件,并且$\mathcal{A}\subset D(A)\times L_\mu^2(\mathbb{R}; D(A))$.