摘要：
本文证明: 若$n\geq4$和$a\ge 0$为整数且满足$a<\frac{n}{3}$, 则
$$\gcd\left(\left\{\binom{n}{k}:a<k<n-a\right\}\right)=\prod_{n=p^{m}+b(n,p),\ 0\le b(n,p)\leq a,} p,$$ 其中 $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$, 右边的连乘积遍历所有满足$ n=p^{m}+b(n,p), m\in\mathbb{N}$ 和 $0\le b(n,p)\leq a$ 的素数 $p$.
作为上述结论的一个应用，我们回答洪[16]文中的一个问题.