一些二项式系数的最大公因数

数学理论与应用 ›› 2022, Vol. 42 ›› Issue (1): 85-91.

一些二项式系数的最大公因数

肖嘉琪，袁平之*，林序灿

华南师范大学数学科学学院，广州, 510631

出版日期:2022-03-31 发布日期:2022-03-23

The Greatest Common Divisor of Certain Set of Binomial Coefficients

Xiao Jiaqi， Yuan Pingzhi*， Lin Xucan

School of Mathematical Science, South China Normal University, Guangzhou 510631, China

Online:2022-03-31 Published:2022-03-23
Contact: Pingzhi Yuan(1966-), Professor, PhD, E-mail: yuanpz@scnu.edu.cn
Supported by:
This work is supported by National Natural Science Foundation of China (No. 12171163)

摘要/Abstract

摘要：

本文证明: 若 $n\geq4$ 和 $a\ge 0$ 为整数且满足 $a<\frac{n}{3}$ , 则

$\gcd\left(\left\{\binom{n}{k}:a<k<n-a\right\}\right)=\prod_{n=p^{m}+b(n,p),\ 0\le b(n,p)\leq a,} p,$ 其中

$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ , 右边的连乘积遍历所有满足

$n=p^{m}+b(n,p), m\in\mathbb{N}$ 和

$0\le b(n,p)\leq a$ 的素数

$p$ .

作为上述结论的一个应用，我们回答洪[16]文中的一个问题.

关键词: 二项式系数 , 最大公因数

Abstract:

In this paper, we prove that if $n\geq4$ and $a\ge 0$ are integers satisfying $a<\frac{n}{3}$ , then

$\gcd\left(\left\{\binom{n}{k}:a<k<n-a\right\}\right)=\prod_{n=p^{m}+b(n,p),\ 0\le b(n,p)\leq a,} p,$ where

$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ , and the product in the right hand side runs through all primes

$p$ such that

$n=p^{m}+b(n,p), m\in\mathbb{N}$ and

$0\le b(n,p)\leq a$ .

As an application of our result, we give an answer to a problem in Hong [16].

Key words: Binomial coefficient , Greatest common divisor

肖嘉琪, 袁平之, 林序灿. 一些二项式系数的最大公因数[J]. 数学理论与应用, 2022, 42(1): 85-91.

Xiao Jiaqi, Yuan Pingzhi, Lin Xucan. The Greatest Common Divisor of Certain Set of Binomial Coefficients[J]. Mathematical Theory and Applications, 2022, 42(1): 85-91.

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